KAPREKAR-Konstante

Dattatreya Ramchandra Kaprekar

geboren: ( 1905-01-17) 17. Januar 1905 in Dahanu, Maharashtra

gestorben: 1986 (81 Jahre) in Devlali, Maharashtra

Über das Zahlengenie KAPREKAR

Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986) war ein indischer Freizeitmathematiker, der verschiedene Klassen natürlicher Zahlen beschrieb, darunter die nach ihm benannten Kaprekar-, Hardad- und Selbstzahlen, und die nach ihm benannte Kaprekar-Konstante entdeckte. Obwohl er keine formelle postgraduale Ausbildung hatte und als Lehrer arbeitete, veröffentlichte er ausgiebig und wurde in Kreisen der Freizeitmathematik bekannt.

 Hier einige Beispiele

•  4321 – 1234 = 3087
• 8730 – 0378 = 8352
• 8532 – 2358 = 6174.

• 938 – 389 = 549
• 954 -459 = 495

• 9743 – 3479 = 6264
• 6642 – 2466 = 4176
• 7641 – 1467 = 6174

• 9853 – 3589 = 6264
• 6642 – 2466 = 4176
• 7641 – 1467 = 6174

• 1 Biografie
• 2 Entdeckungen
  • 2.1 Kaprekarsche Konstante
  • 2.2 Kaprekar-Nummer
  • 2.3 Devlali oder Selbstnummer
  • 2.4 Harshad-Nummer
  • 2.5 Demlo-Nummer
  • 2.6 Siehe auch
• 3 Referenzen
• 4 Externe Links

Biografie

Kaprekar erhielt seine Sekundarschulausbildung in Thane und studierte am Fergusson College in Pune. 1927 gewann er den Wrangler RP Paranjpe Mathematical Prize für eine originelle Arbeit in Mathematik.

Er besuchte die Universität von Mumbai und erhielt 1929 seinen Bachelor-Abschluss. Nachdem er während seiner gesamten Karriere (1930–1962) keine formelle postgraduale Ausbildung erhalten hatte, war er Lehrer bei Nashik in Maharashtra, Indien. Er veröffentlichte ausführlich und schrieb über Themen wie wiederkehrende Dezimalstellen, magische Quadrate und ganze Zahlen mit besonderen Eigenschaften.Er ist auch als „Ganitanand“ bekannt.

Entdeckungen

Kaprekar arbeitete weitgehend allein und entdeckte eine Reihe von Ergebnissen in der Zahlentheorie und beschrieb verschiedene Eigenschaften von Zahlen. Neben der Kaprekar-Konstante und den nach ihm benannten Kaprekar-Zahlen beschrieb er auch Selbst-  oder Devlali-Zahlen, die Hardad-Zahlen und Demlo-Zahlen. Er konstruierte auch bestimmte Arten von magischen Quadraten, die mit dem magischen Copernicus-Quadrat verwandt sind. Anfangs wurden seine Ideen von indischen Mathematikern nicht ernst genommen, und seine Ergebnisse wurden größtenteils in Mathematikzeitschriften auf niedriger Ebene oder privat veröffentlicht. Internationaler Ruhm kam jedoch, als Martin Gardner in seiner Kolumne Mathematical Games for Scientific American vom März 1975 über Kaprekar schrieb. Heute ist sein Name bekannt und viele andere Mathematiker haben die von ihm entdeckten Eigenschaften untersucht.

Kaprekars Konstante

1949 entdeckte Kaprekar eine interessante Eigenschaft mit der Nummer 6174, die später als Kaprekar-Konstante bezeichnet wurde. Er zeigte, dass 6174 im Grenzbereich erreicht ist, wenn man wiederholt die höchsten und niedrigsten Zahlen subtrahiert, die aus einem Satz von vier Ziffern konstruiert werden können, die nicht alle identisch sind. Ab 1234 haben wir also:

Hier einige Beispiele:

•  4321 – 1234 = 3087
• 8730 – 0378 = 8352
• 8532 – 2358 = 6174.

• 938 – 389 = 549
• 954 -459 = 495

• 9743 – 3479 = 6264
• 6642 – 2466 = 4176
• 7641 – 1467 = 6174

• 9853 – 3589 = 6264
• 6642 – 2466 = 4176
• 7641 – 1467 = 6174

Wenn Sie ab diesem Punkt wiederholen, bleibt dieselbe Nummer erhalten (7641 – 1467 = 6174).  Wenn die Operation konvergiert, geschieht dies im Allgemeinen in höchstens sieben Iterationen.

Eine ähnliche Konstante für 3 Ziffern ist 495. In Basis 10 existiert eine einzige solche Konstante jedoch nur für Zahlen mit 3 oder 4 Ziffern; Für andere Ziffernlängen oder Basen als 10 kann der oben beschriebene Routinealgorithmus von Kaprekar im Allgemeinen in mehreren verschiedenen Konstanten oder wiederholten Zyklen enden, abhängig vom Startwert.

Kaprekar Nummer

Eine andere von Kaprekar beschriebene Zahlenklasse sind die Kaprekar-Zahlen. Eine Kaprekar-Zahl ist eine positive ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass ihre Darstellung, wenn sie quadratisch ist, in zwei positive ganzzahlige Teile aufgeteilt werden kann, deren Summe der ursprünglichen Zahl entspricht (z. B. 45, da 45 ²= 2025 und 20 + 25 = 45, auch 9, 55, 99 usw.) Beachten Sie jedoch die Einschränkung, dass die beiden Zahlen positiv sind;Zum Beispiel ist 100 keine Kaprekar-Zahl, obwohl 100 ²= 10000 und 100 + 00 = 100. Diese Operation, bei der die Ziffern ganz rechts eines Quadrats genommen und zu der durch die Ziffern ganz links gebildeten Ganzzahl addiert werden, ist bekannt als die Kaprekar-Operation.

Einige Beispiele für Kaprekar-Nummern in Basis 10 neben den Nummern 9, 99, 999,… sind:

Devlali oder Selbstnummer

Im Jahr 1963 definierte Kaprekar die Eigenschaft, die als Selbstzahlen bekannt wurde, als die ganzen Zahlen, die nicht erzeugt werden können, indem eine andere Zahl genommen und ihre eigenen Ziffern hinzugefügt werden. Zum Beispiel ist 21 keine Selbstnummer, da es aus 15: 15 + 1 + 5 = 21 generiert werden kann. 20 ist jedoch eine Selbstnummer, da es nicht aus einer anderen Ganzzahl generiert werden kann. Er gab auch einen Test zur Überprüfung dieser Eigenschaft in beliebiger Anzahl.Diese werden manchmal als Devlali-Zahlen bezeichnet (nach der Stadt, in der er lebte); Obwohl dies seine bevorzugte Bezeichnung gewesen zu sein scheint, ist der Begriff „Selbstnummer“ weiter verbreitet. Manchmal werden diese nach einer späteren Bezeichnung auch als kolumbianische Nummern bezeichnet.

Harshad Nummer

Kaprekar beschrieb auch die Hardad-Zahlen, die er Hardad nannte, was „Freude geben“ bedeutet ( Sanskrit Harsha, Freude + da Taddhita Pratyaya, ursächlich); Diese werden durch die Eigenschaft definiert, dass sie durch die Summe ihrer Ziffern teilbar sind.Somit ist 12, die durch 1 + 2 = 3 teilbar ist, eine harte Zahl. Diese wurden später auch als Niven-Zahlen bezeichnet, nachdem der kanadische Mathematiker Ivan M. Niven1977 einen Vortrag darüber gehalten hatte. Zahlen, die in allen Basen hart sind (nur 1, 2, 4 und 6), werden All-Harte-Zahlen genannt. Es wurde viel Arbeit an harten Zahlen geleistet, und ihre Verteilung, Häufigkeit usw. sind heute in der Zahlentheorie von erheblichem Interesse.

Demlo Nummer

Kaprekar studierte auch die Demlo-Nummern, benannt nach einem Bahnhof 30 Meilen von Bombay entfernt, an der damaligen GIP-Eisenbahn, wo er auf die Idee kam, sie zu studieren. Die bekanntesten davon sind die Wonderful Demlo-Nummern 1, 121, 12321, 1234321,…, die die Quadrate der Repunits 1, 11, 111, 1111,… sind.

6174 ist als Kaprekar-Konstante bekannt, eine magische Zahl in der Mathematik. Die „Magie“ liegt in einem Verfahren, das der indische Mathematiker Dattatreya Ramchandra Kaprekar 1949 entdeckte. Und so funktioniert es:

Die Kaprekar-Routine:

• Nehmen Sie eine beliebige vierstellige Zahl und verwenden Sie mindestens zwei verschiedene Ziffern. (Wenn die Zahl weniger als vier Ziffern hat, füllen Sie sie mit führenden Nullen auf, um sie vierstellig zu machen.)
• Ordnen Sie die Ziffern in absteigender und dann in aufsteigender Reihenfolge an, um zwei vierstellige Zahlen zu erhalten.
• Subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl.
• Wiederholen Sie den Vorgang mit dem Ergebnis.
• Egal mit welcher vierstelligen Zahl Sie beginnen, nach einigen Iterationen erreichen Sie immer 6174. Sobald Sie 6174 erreicht haben, ergibt eine Wiederholung des Vorgangs weiterhin 6174.
• Aus diesem Grund wird 6174 oft als „sich selbst wiederholende Zahl“ oder Kaprekar-Konstante bezeichnet.