GOLDBACHsche Vermutung

Die sog. GOLDBACHsche Vermutung ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme (Nr. 8b) zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik. Diese „Vermutung“ gilt zwar als einfach zu formulieren, aber als besonders schwierig zu beweisen.

Wir kennen die

1. STARKE GOLDBACHsche Vermutung
2. SCHWACHE GOLDBACHsche Vermutung
3. GOLDBACH-ZERLEGUNGEN

Zu 1.) STARKE GOLDBACHsche Vermutung oder auch BINÄRE GOLDBACHsche Vermutung genannt, lautet: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen. Tomás Oliveira e Silva zeigte mittels eines Volunteer – Computing – Projekts mittlerweile die Gültigkeit der Vermutung für alle Zahlen bis 4·10¹⁸. Ein Beweis dafür, dass sie für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies nicht.

Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für einen Beweis der Vermutung innerhalb von zwei Jahren ausgelobt hatte, wuchs auch das öffentliche Interesse an dieser Frage. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

Zu 2.) SCHWACHE GOLDBACHsche Vermutung oder auch TERNÄRE GOLDBACHsche Vermutung genannt, lautet: Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen. Am 13. Mai 2013 kündigte der peruanische Mathematiker Harald Helfgott einen mutmaßlichen Beweis der ternären Goldbachschen Vermutung für alle Zahlen an, die größer als 10³⁰ sind. Der Beweis wurde 2015 für die Annals of Mathematics Studies in Princeton akzeptiert – eine Buchreihe – und ist bisher noch nicht vollständig erschienen und einem vollständigen Peer-Review unterzogen (Stand 2021). Helfgott beschloss dafür die Kapitel stückweise zunächst auf seiner Homepage zu dem geplanten Buch zu veröffentlichen. Der Beweis benutzt Siebmethoden (Großes Sieb), die Kreismethode von Hardy-Littlewood und Exponentialsummen nach Winogradow, alles Methoden der analytischen Zahlentheorie. Die Gültigkeit für sämtliche Zahlen unterhalb 8,875·10³⁰ ist bereits mit Computerhilfe überprüft worden.

Aus der starken Goldbachschen Vermutung folgt die schwache Goldbachsche Vermutung, denn jede ungerade Zahl u kann als Summe u = (u – 3) + 3  geschrieben werden. Der erste Summand (u – 3) ist nach der starken Goldbachschen Vermutung Summe zweier Primzahlen (u – 3 = a + b), womit eine Darstellung u = a + b + 3 von u als Summe von drei Primzahlen gefunden ist.

Zu 3.) GOLDBACH-ZERLEGUNGEN: Als GOLDBACH-ZERLEGUNG wird die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen bezeichnet, beispielsweise ist  3+5 eine Goldbach-Zerlegung der 8. Die Zerlegungen sind nicht eindeutig, wie man an 18 = 7 + 11 = 5 + 13 ersehen kann. Für größere gerade Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Goldbach-Zerlegungen („mehrfache Goldbachzahlen“).